কষে দেখি- $5.7$
1. আমাদের
স্কুলের পাশে বই-এর
দোকান থেকে আমার বন্ধু
রীতা 34 টাকায় 5টি পেন ও
3টি পেনসিল কিনেছে। কিন্ত সুমিত ওই একই দোকান থেকে একই দামে 7 টি পেন ও 6টি পেনসিল 53 টাকায় কিনেছে। আমি সহসমীকরণ গঠন করে প্রতিটি পেন ও প্রতিটি পেনসিলের দাম হিসাব করে লিখি।।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি,
1 টি পেনের দাম $x$ টাকা
এবং 1 টি পেনসিলের দাম $y$ টাকা ।
অতএব, 5টি পেন ও 3টি পেনসিলের একত্রে দাম $=(5x + 3y)$ টাকা।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $5x+3y = 34$ .................(1)
আবার, 7 টি পেন ও 6টি পেনসিলের একত্রে দাম $=(7x + 6y)$ টাকা।
অতএব, দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $7x +6y = 53$ ...................(2)
(1) নং সমীকরণ কে 2 দ্বারা করে পাই, $10x + 6y = 68$ ...................(3)
এবং (2) নং সমীকরণ কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই, $7 x + 6y = 53$ ...................(4)
সমীকরণ (3)নং থেকে (4)নং বিয়ােগ করে সমাধান করে পাই ,$x=5$
অতএব, 5টি পেন ও 3টি পেনসিলের একত্রে দাম $=(5x + 3y)$ টাকা।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $5x+3y = 34$ .................(1)
আবার, 7 টি পেন ও 6টি পেনসিলের একত্রে দাম $=(7x + 6y)$ টাকা।
অতএব, দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $7x +6y = 53$ ...................(2)
(1) নং সমীকরণ কে 2 দ্বারা করে পাই, $10x + 6y = 68$ ...................(3)
এবং (2) নং সমীকরণ কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই, $7 x + 6y = 53$ ...................(4)
সমীকরণ (3)নং থেকে (4)নং বিয়ােগ করে সমাধান করে পাই ,$x=5$
এখন, (1) নং সমীকরণে $x = 5$ বসিয়ে পাই, $5 \times 5 + 3y = 34$
বা, $25 + 3y = 34$
বা, $3y = 9$
বা, $y = 3$
সুতরাং, 1 টি পেনের দাম 5 টাকা এবং 1 টি পেনসিলের দাম 3 টাকা।
বা, $25 + 3y = 34$
বা, $3y = 9$
বা, $y = 3$
সুতরাং, 1 টি পেনের দাম 5 টাকা এবং 1 টি পেনসিলের দাম 3 টাকা।
2. আমার
বন্ধু আয়েশা ও রফিকের
ওজন একত্রে 85 কিগ্রা.। আয়েশার
ওজনের অর্ধেক রফিকের ওজনের ৪ অংশের সমান হলে সহসমীকরণ গঠন করে তাদের পৃথকভাবে ওজন হিসাব করে লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, আয়েশার ওজন $x$ কিগ্রা এবং রফিকের ওজন $y$ কিগ্রা ।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $x + y = 85$ বা, $x = 85 –y \cdots\qquad$ (1)
বা, $9(85-y)=8y$
বা, $765-9y=8y$
বা, $-9y-8y=-765$
বা, $-17y = –765 $
বা, $y = 45$ ।
এখন, (1) নং সমীকরণে $y=45$ বসিয়ে পাই , $x = 85 – 45 = 40$।
সুতরাং, আয়েশার ওজন $40$ কিগ্রা এবং রফিকের ওজন $45$ কিগ্রা।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $x + y = 85$ বা, $x = 85 –y \cdots\qquad$ (1)
আবার দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $\frac{x}{2}=\frac{4y}{9}$
বা, $9x = 8y$বা, $9(85-y)=8y$
বা, $765-9y=8y$
বা, $-9y-8y=-765$
বা, $-17y = –765 $
বা, $y = 45$ ।
এখন, (1) নং সমীকরণে $y=45$ বসিয়ে পাই , $x = 85 – 45 = 40$।
সুতরাং, আয়েশার ওজন $40$ কিগ্রা এবং রফিকের ওজন $45$ কিগ্রা।
3. আমার
কাকাবাবুর বর্তমান বয়স আমার বােনের
বর্তমান বয়সের দ্বিগুণ।10 বছর
আগে আমার কাকাবাবুর বয়স আমার বােনের বয়সের তিনগুণ ছিল। সহসমীকরণ গঠন করে তাদের বর্তমান বয়স পৃথকভাবে হিসাব করে লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, বর্তমানে আমার কাকাবাবুর বয়স $x$ বছর এবং
বােনের বয়স $y$ বছর ।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $x = 2y\qquad\cdots(1) $
আবার $10$ বছর আগে কাকাবাবুর ও বােনের বয়স ছিল যথাক্রমে $(x – 10)$বছর এবং $(y- 10)$ বছর
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $x- 10 = 3(y – 10)$
বা, $2y - 10 = 3y – 30 [: x = 2y]$
বা, $2y - 3y = 10 – 30$
বা, $–y = -20$
বা, $y = 20$
এখন (1) নং সমীকরণে $y=20$ বসিয়ে পাই, $x = 2\times 20 = 40$
সুতরাং, বর্তমানে কাকাবাবুর বয়স $40$ বছর এবং বােনের বয়স $20$ বছর।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $x = 2y\qquad\cdots(1) $
আবার $10$ বছর আগে কাকাবাবুর ও বােনের বয়স ছিল যথাক্রমে $(x – 10)$বছর এবং $(y- 10)$ বছর
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $x- 10 = 3(y – 10)$
বা, $2y - 10 = 3y – 30 [: x = 2y]$
বা, $2y - 3y = 10 – 30$
বা, $–y = -20$
বা, $y = 20$
এখন (1) নং সমীকরণে $y=20$ বসিয়ে পাই, $x = 2\times 20 = 40$
সুতরাং, বর্তমানে কাকাবাবুর বয়স $40$ বছর এবং বােনের বয়স $20$ বছর।
4. আমাদের
গ্রামের দেবকুমারকাকু 590 টাকার একটি চেক
ব্যাঙ্ক থেকে ভাঙালেন। তিনি
যদি ব্যাঙ্ক থেকে পাঁচ টাকার
ও দশ টাকার মােট
70 খানা নােট পেয়ে থাকেন
তবে তিনি ব্যাঙ্ক থেকে
কতগুলি পাঁচ টাকার নােট
এবং কতগুলি দশ টাকার
নােট পেলেন হিসাব করে
লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, তিনি $x$ টি পাঁচ টাকার
নােট এবং $y$ টি দশ
টাকার নােট পেলেন .
প্রথম শর্তানুযায়ী, $x+y=70\qquad\cdots(1)$
এখন, $x$ টি $5$ টাকার নােটের মােট মূল্য $5x$ টাকা এবং $y$ টি $10$ টাকার নােটের মােট মূল্য $10y$ টাকা।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $x+y=70\qquad\cdots(1)$
এখন, $x$ টি $5$ টাকার নােটের মােট মূল্য $5x$ টাকা এবং $y$ টি $10$ টাকার নােটের মােট মূল্য $10y$ টাকা।
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $5 + 10y = 590$
বা, $5(x+ 2y) = 590 $
বা, $5(x+ 2y) = 590 $
বা, $x +2y = 118\cdots\qquad(2)$
(1)নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ বিয়ােগ করে সমাধান করে পাই , $y=48$
এখন, (1) নং সমীকরণে $y = 48$ বসিয়ে পাই
এখন, (1) নং সমীকরণে $y = 48$ বসিয়ে পাই
$x + 48 = 70$
বা, $x = 22$
সুতরাং, তিনি $22$ টি $5$ টাকার নােট এবং $48$ টি $10$ টাকার নােট পেলেন।
বা, $x = 22$
সুতরাং, তিনি $22$ টি $5$ টাকার নােট এবং $48$ টি $10$ টাকার নােট পেলেন।
5. আমি
স্কুলের ব্ল্যাকবাের্ডে এমন একটি প্রকৃত
ভগ্নাংশ লিখব যার হরটি
লব অপেক্ষা 5 বেশি এবং লব
ও হরের সঙ্গে যদি 3 যােগ করি তবে ভগ্নাংশটি হবে। সহসমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে প্রকৃত ভগ্নাংশটি ব্ল্যাকবাের্ডে লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ বাড়ির কাজ
6. মারিয়া
তার খাতায় দুটি এমন
সংখ্যা লিখেছে যে প্রথম
সংখ্যার সঙ্গে 21 যােগ করলে তা
দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। আবার দ্বিতীয় সংখ্যার সঙ্গে 12 যােগ করলে তা প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। হিসাব করে মারিয়ার লেখা সংখ্যা দুটি লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ বাড়ির কাজ
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ বাড়ির কাজ
7. লালিমা
ও রমেন দুজনেই তাদের
বাড়ির বাগান পরিষ্কার করে।
লালিমা 4 দিন ও রমেন
3দিন একসঙ্গে বাগান পরিষ্কার করলে
কাজটির অংশ সম্পন্ন হয়।
আবার লালিমা 3 দিন ও রমেন
6 দিন একসঙ্গে বাগান পরিষ্কার করলে
কাজটিরত অংশ সম্পন্ন হয়।
সহসমীকরণ গঠন করি এবং
সমাধান করে লালিমা ও।
রমেন পৃথকভাবে কাজটি করলে কতদিনে
শেষ করবে হিসাব করে
লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, লালিমা ও রমেন $x$ দিনে
ও $y$ দিনে কাজটি শেষ
করে ।
এখন, লালিমা $4$ দিনে করে কাজটির $\frac{4}{x}$ অংশ এবং রমেন $3$ দিনে করে কাজটির $\frac{3}{y}$ অংশ।
এখন প্রথম শর্তানুযায়ী, $\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{3}\qquad\cdots(1)$
আবার, লালিমা $3$ দিনে করে কাজটির $\frac{3}{x}$ অংশ এবং রমেন $6$ দিনে করে কাজটির $\frac{6}{y}$ অংশ।
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{11}{12}\qquad\cdots(2)$
(1) নং সমীকরণকে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই , $\frac{8}{x}+\frac{6}{y}=\frac{4}{3}$
(2) নং সমীকরণকে $1$ দ্বারা গুণ করে পাই , $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{11}{12}$
(3) নং থেকে (4) নং বিয়ােগ করে সমাধান করে পাই $x=12$
এখন, (1)নং সমীকরণে $x=12$ বসিয়ে পাই,
বা, $\frac{4}{12}+\frac{3}{y}=\frac{2}{3}$
বা, $\frac{3}{y}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}$
বা, $\frac{3}{y}=\frac{1}{3}$
বা, $y = 9$
এখন, লালিমা $4$ দিনে করে কাজটির $\frac{4}{x}$ অংশ এবং রমেন $3$ দিনে করে কাজটির $\frac{3}{y}$ অংশ।
এখন প্রথম শর্তানুযায়ী, $\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{3}\qquad\cdots(1)$
আবার, লালিমা $3$ দিনে করে কাজটির $\frac{3}{x}$ অংশ এবং রমেন $6$ দিনে করে কাজটির $\frac{6}{y}$ অংশ।
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{11}{12}\qquad\cdots(2)$
(1) নং সমীকরণকে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই , $\frac{8}{x}+\frac{6}{y}=\frac{4}{3}$
(2) নং সমীকরণকে $1$ দ্বারা গুণ করে পাই , $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{11}{12}$
(3) নং থেকে (4) নং বিয়ােগ করে সমাধান করে পাই $x=12$
এখন, (1)নং সমীকরণে $x=12$ বসিয়ে পাই,
বা, $\frac{4}{12}+\frac{3}{y}=\frac{2}{3}$
বা, $\frac{3}{y}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}$
বা, $\frac{3}{y}=\frac{1}{3}$
বা, $y = 9$
সুতরাং, পৃথকভাবে কাজ করলে লালিমা কাজটি শেষ করবে $12$ দিনে এবং রমেন কাজটি শেষ করবে $3$ দিনে।
8. আমার
মা দু-ধরনের শরবত
তৈরি করেছেন। প্রথম ধরনের 100 লিটার
শরবতে 5 কিগ্রা. চিনি এবং দ্বিতীয়
ধরনের 100 লিটার শরবতে ৪
কিগ্রা, চিনি আছে।
আমি দু-ধরনের শরবত
মিশিয়ে 150 লিটার শরবত তৈরি
করব যাতে চিনি থাকবে
9 কিগ্রা। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব
করে দেখি 150 লিটার শরবতে দু-ধরনের শরবত কতটা
পরিমাণ মেশাব।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ বাড়ির কাজ
9. গত
বছরে বকুলতলা গ্রামপঞ্চায়েত নির্বাচনে অখিলবাবু ও ছন্দাদেবী প্রার্থী
ছিলেন। অখিলবাবু ছন্দাদেবীকে 75 ভােটে পরাজিত করলেন।
অখিলবাবুকে যারা ভােট দিয়েছেন
তাদের 20% যদি ছন্দাদেবীকে ভােট
দিতেন তাহলে ছন্দাদেবী 19 ভােটে
জিততে পারতেন। সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান
করে দেখি কে কত ভােট পেয়েছেন।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, অখিলবাবু ভােট পেয়েছেন $x$ টি এবং ছন্দাদেবী ভােট পেয়েছেন ।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $x-y = 75$ অখিলবাবুর ভােটের $20\% =
x\times\frac{20}{100}=\frac{x}{5}$
পরবর্তী ক্ষেত্রে অখিলবাবুর ভােট $(x-\frac{x}{5})$ টি অর্থাৎ, $\frac{4x}{5}$ টি এবং
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $(y+\frac{x}{5}) -\frac{4x}{5}
= 19$
বা,
$(y-\frac{3x}{5}) = 19$
বা,
$(x-75-\frac{3x}{5}) = 19$ [যেহেতু $x-y=75$]
বা,
$(x-\frac{3x}{5}) = 19+75$
বা,
$(\frac{2x}{5}) = 94$
বা,
$x=235$
এখন (1) নং সমীকরণে $x=235$ বসিয়ে পাই, $235– y = 75$
বা,
$-y = -160$
বা,
$y=160$
সুতরাং, অখিলবাব ভােট পেয়েছেন $235$ টি এবং ছন্দাদেবী ভােট পেয়েছেন $160$ টি।
10. রফিকদের
আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 2 মিটার
এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে
ক্ষেত্রফল 75 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। কিন্ত দৈর্ঘ্য 2 মিটার হ্রাস এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 15 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। সহসমীকরণ গঠন করে রফিকদের মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার ও প্রস্থ $y$ মিটার .
আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = = $xy$ বর্গমিটার।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $(x+ 2) (y+ 3) = xy+ 75$
বা, $xy + 3x + 2y
+ 6 = xy + 75$
বা, $3x+2y = 69
\qquad\cdots(1)$
বা, $xy+ 3x-2y- 6
=xy+ 15$
বা, $3x-2y =
21\qquad\cdots(2)$
এখন (1)নং ও (2)নং যােগ করে পাই, $(3x + 2y) + (3x - 2y) =69 + 21$
বা, $6x = 90$
বা, $x = 15$
এখন, (1) নং সমীকরণে $x = 15$ বসিয়ে পাই, $3\times 15 + 2y = 69$
বা, $2y = 69 – 45$
বা, $2y = 24$
বা, $y = 12$
সুতরাং, মেঝের দৈর্ঘ্য $15$ মিটার এবং প্রস্থ $12$ মিটার।
11. আমার বন্ধু মেরি ঈশানকে বলল, তােমার টাকার $\frac{1}{3}$ আমায় দাও তাহলে আমার $200$ টাকা হবে। ঈশান মেরিকে বলল, তােমার টাকার অর্ধেক আমাকে দিলে আমার $200$ টাকা হবে। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করে দেখি কার কাছে কত টাকা আছে।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ বাড়ির কাজ
12. আজ দাদা ও তার কিছু বন্ধুরা একসাথে মেলায় যাবে। তাই আমার দাদু তাদের মধ্যে কিছু টাকা সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। দেখছি, যদি 2 জন বন্ধু কম থাকত তবে প্রত্যেকে 18 টাকা পেত। আবার যদি 3জন বন্ধু বেশি থাকত তবে প্রত্যেকে 12 টাকা পেত। দাদারা কতজন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মােট কত টাকা ওদের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ বাড়ির কাজ
13. আমার দাদার একটি থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা মিলিয়ে মােট 350 টাকা আছে। আমার বােন ওই টাকার থলি থেকে এক তৃতীয়াংশ 50 পয়সা বের করে তার জায়গায় সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা রেখে দিল এবং এখন ওই থলিতে মােট টাকার পরিমাণ 400 টাকা হলাে। প্রথমে দাদার থলিতে আলাদাভাবে । টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা কতগুলি ছিল হিসাব করে লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, প্রথমে থলিতে $1$ টাকার মুদ্রা ছিল $x$ টি এবং $50$ পয়সার মুদ্রা
ছিল $y$ টি.
প্রথমে থলিতে $1$ টাকা ও $50$ পয়সার মুদ্রার মােট মূল্য $(x+\frac{y}{2})$ টাকা
বা, $x = 350 – 150 = 200$
প্রথমে থলিতে $1$ টাকা ও $50$ পয়সার মুদ্রার মােট মূল্য $(x+\frac{y}{2})$ টাকা
প্রথম শর্তানুযায়ী, $x+\frac{y}{2}=350\qquad\cdots(1)$
থলি থেকে $\frac{1}{3}$ ভাগ $50$ পয়সা বের করলে বর্তমানে থলিতে $50$ পয়সা মুদ্রার সংখ্যা=$(1-\frac{1}{3})y=\frac{2y}{3}$ এবং 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা $=(x+\frac{y}{3})$
পরবর্তী ক্ষেত্রে থলিতে $1$ টাকা ও $50$ পয়সা মুদ্রার মােট মূল্য
$={(x\frac{y}{3})+\frac{1}{2}\times\frac{2y}{3}}$ টাকা
$=(x+\frac{y}{3}+\frac{y}{3})$টাকা
$=(x+\frac{2y}{3})$টাকা ।
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $x+\frac{2y}{3}=400\qquad\cdots(2)$
সমীকরণ (1)নং থেকে (2)নং বিয়ােগ করে পাই,
$={(x\frac{y}{3})+\frac{1}{2}\times\frac{2y}{3}}$ টাকা
$=(x+\frac{y}{3}+\frac{y}{3})$টাকা
$=(x+\frac{2y}{3})$টাকা ।
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $x+\frac{2y}{3}=400\qquad\cdots(2)$
সমীকরণ (1)নং থেকে (2)নং বিয়ােগ করে পাই,
$(x+\frac{y}{2})-(x+\frac{2y}{3})=350-400$
বা, $\frac{y}{2}-\frac{2y}{3}=-50$
বা,
$\frac{3y-4y}{6}=-50$
বা,
$-\frac{y}{6}=-50$
বা, $y = 300$
এখন, (1) নং সমীকরণে $y = 300$ বসিয়ে পাই,
$x+\frac{300}{2}=350$
বা, $x + 150 = 350$$x+\frac{300}{2}=350$
বা, $x = 350 – 150 = 200$
প্রথমে থলিতে $1$ টাকা
ছিল $200$ টি এবং $50$ পয়সা
ছিল $300$ টি।
14. আজ মামার বাড়ি যাব। তাই একটি মােটরগাড়ি আমাদের বাড়ি থেকে সমবেগে মামার বাড়ির দিকে রওনা দিল। যদি গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় 9 কিমি. বেশি হতাে তবে ওই পথ অতিক্রম করতে তার 3 ঘণ্টা সময় কম লাগত। আবার গতিবেগ যদি ঘণ্টায় 6 কিমি. কম হতাে তবে ওই পথ অতিক্রম করতে তার 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগত। আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব এবং গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. ছিল হিসাব করে লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, গাড়িটির স্বাভাবিক বেগ $x$ কিমি/ঘণ্টা এবং মােট পথটি ওই বেগে অতিক্রম করতে সময় লাগে $y$ ঘণ্টা ।
মােট পথের দূরত্ব = গতিবেগ $\times$ সময় = $xy$ কিমি
প্রথম শর্তানুযায়ী,
$(x + 9) (y- 3) = xy $[:: পথের দূরত্ব নির্দিষ্ট বা xy কিমি]
বা, $xy-3x+ 9y-27 = xy$
বা, $–3x+ 9y = 27$
বা, $x-3y = -9\qquad\cdots (1)$
এবং
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $(x-6) (y+ 3) =xy$ [: পথের দূরত্ব নির্দিষ্ট বা xy কিমি]
বা, $xy + 3x-6y – 18 = xy$
বা, $3x- 6y = 18 $
বা, $x-2y = 6\qquad\cdots (2)$
(1)নং থেকে (2) নং বিয়ােগ করে সমাধান করে পাই, $y=15$
$x-3\times15=-9$
বা, $x=45-9$
বা, $x=36$
সুতরাং, গাড়িটির স্বাভাবিক বেগ $36$ কিমি/ঘণ্টা এবং মােট পথের দূরত্ব $= xy$ কিমি $= (36 \times15) $ কিমি = $540$ কিমি।
15. মােহিত এমন একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখবে যেটি তার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 4 গুণ অপেক্ষা 3 বেশি এবং সংখ্যাটির অঙ্কদুটি স্থানবিনিময় করলে যে সংখ্যা হয় তা মূল সংখ্যার চেয়ে 18 বেশি। হিসাব করে দেখি মােহিত কোন সংখ্যা লিখবে।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, নির্ণেয়
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক $x$ এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক $y$ ।
এখন, $y=3$ (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই $x-2\times3=-1$
সংখ্যাটি $= 10y + x$ যার অঙ্ক দুটির
সমষ্টি $= x+y $. প্রথম শর্তানুযায়ী, $10y+ x = 4(x+y) + 3$
বা, $10y + x 4x – 4y = 3$
বা, $– 3x + 6y = 3$
বা, $-3(x-2y) = 3$
বা, $x- 2y = -1\qquad\cdots (1)$
আবার, সংখ্যাটির অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি হয় $(10x + y)$ .
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $10x+y =(10y + x) + 18$
বা, $10x+y= 10y = x = 18$
বা, $9x–9y = 18$
বা, $9(x-y) = 18$
বা, $x-y = 2\qquad\cdots (2)$
(1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই $y=3$
এখন, $y=3$ (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই $x-2\times3=-1$
বা, $x=5$
অতএব, সংখ্যাটি= $ 10y+x=10\times3+5=35$
সুতরাং,
মােহিতের লেখা সংখ্যাটি হল
35।
16. আমি একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখব যার অঙ্কদুটির সমষ্টি 14 এবং সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়ােগ করলে অঙ্কদুটি সমান হবে। সহসমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে দেখি দুই অঙ্কের সংখ্যাটি কী হবে।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক $x$ এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক $y$
অতএব সংখ্যাটি $= 10y +x$ যার অঙ্ক দুটির সমষ্টি $x+y$
প্রথম শর্ত অনুযায়ী, $x+y=14$
বা, $x=14-y\qquad\cdots(1)$
এখন সংখ্যাটি থেকে $29$ বিয়ােগ করলে নতুন সংখ্যাটি
হয়।
$= 10y + x – 29 = 10y + x – 30 + 1 = 10(y- 3) + (x + 1)$।
$= 10y + x – 29 = 10y + x – 30 + 1 = 10(y- 3) + (x + 1)$।
সুতরাং,
নতুন সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক $(x + 1)$ এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক $(y- 3)$ । .
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $x+1 = y-3$
বা, $14 –y+1 = y-3$ ($ x=14-y$ বসিয়ে পাই)
বা, $-y-y = -3 – 15$
বা, $-2y = -18$
বা, $y = 9$
এখন (1) নং সমীকরণে $y = 9$ বসিয়ে পাই, $x = 14 – 9 = 5$
অতএব, সংখ্যাটি $= 10y+x = 10 \times9 + 5 = 90 + 5 = 95$
সুতরাং,
নির্ণীত সংখ্যাটি হল $95$।
17. রহমত চাচা তার নৌকা নিয়ে স্রোতের অনুকূলে 6 ঘণ্টায় 30 মাইল গিয়ে এই পথ স্রোতের প্রতিকূলে 10 ঘণ্টায় ফিরে এলেন। স্থির জলে রহমত চাচার নৌকার গতিবেগ ও স্রোতের গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, স্থির
জলে নৌকার বেগ $x$ মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের
বেগ $y$ মাইল/ঘণ্টা। .
স্রোতের অনুকূলে নৌকার
আপেক্ষিক বেগ = নৌকার বেগ
+ স্রোতের বেগ =$ (x+y) $ মাইল/ঘন্টা
স্রোতের অনুকূলে $30$ মাইল যেতে সময়
লাগে $=\frac{30}{ x+y}$ ঘন্টা।
বা,$ x+y = 5$
আবার, স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার আপেক্ষিক বেগ =নৌকার বেগ– স্রোতের বেগ = $(x – y)$ মাইল/ঘণ্টা।
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $=\frac{30}{ x-y}$ = 10
বা, $x-y = 3$
(1) নং সমীকরণ ও (2)নং সমীকরণ যােগ করে পাই, $x=4$
এখন (1) নং সমীকরণে $x=4$ বসিয়ে পাই $4+y=5$
বা, $y=1$
সুতরাং, স্থির জলে নৌকার
বেগ $4$ মাইল/ঘণ্টা এবং
স্রোতের বেগ $1$ মাইল/ঘণ্টা।
18. হাওড়া স্টেশন থেকে একটি ট্রেন ছাড়ার 1 ঘণ্টা পরে বিশেষ কারণে 1 ঘণ্টা দেরি করে এবং তারপর
পূর্বের বেগের অংশ বেগে চলে নির্দিষ্ট সময়ের 3 ঘণ্টা পরে গন্তব্যস্থলে পৌঁছায়। যদি বিশেষ কারণটি পূর্বস্থান থেকে আরও 50 কিমি. দূরবর্তী স্থানে হতাে, তাহলে ট্রেনটি আগের চেয়ে 1 ঘণ্টা 20 মিনিট পূর্বে গন্তব্যস্থানে পৌঁছাতাে। ট্রেনটি মােট কত পথ চলেছিল এবং পূর্বের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ বাড়ির কাজ
19. মৌসুমি দুই অঙ্কের একটি সংখ্যাকে অঙ্কদুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করে ভাগফল 6 এবং ভাগশেষ 6 পায়। যদি মৌসুমি অঙ্ক দুটি স্থান বিনিয়ম করে সংখ্যাটিকে অঙ্ক দুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করে তাহলে ভাগফল 4 এবং ভাগশেষ 9 হয়। সহসমীকরণ গঠন করে মৌসুমির সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ বাড়ির কাজ
20. ফরিদাবিবি কয়েকটি বাক্সে কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখলেন যে তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 20 টি কমলালেবু বেশি রাখেন তাহলে 3টি বাক্স কম লাগে। আবার তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 5টি কমলালেবু কম রাখেন তাহলে 1টি বাক্স বেশি লাগে। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করি ফরিদাবিবির কাছে কতগুলি কমলালেবু এবং কতগুলি বাক্স ছিল।
22. (i) থেকে (vi) পর্যন্ত বাড়ির কাজ
$\diamondsuit$ সমাধান $\diamondsuit$ ধরি, প্রতি বাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা $x$ এবং বাক্সের সংখ্যা $y$ ।
অতএব মােট কমলালেবুর সংখ্যা $xy$।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $(x + 20)(y-3) = xy$
বা, $xy-3x+ 20y - 60 = xy$
বা, $– 3x + 20y = 60\qquad\cdots(1)$
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $(x – 5)(y + 1) = xy$
বা, $xy+x-5y-5 = xy $
বা, $x-5y = 3\qquad\cdots(2)$
(1) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুণ করে পাই, $-3x+ 20y = 60 \qquad\cdots(3)$
(2) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই, $3x-15y = 15 \qquad\cdots(4)$
(3) নং ও (4)নং সমীকরণ যােগ করে সমাধান করে পাই, $y = 15 $
এখন (2)নং সমীকরণে $y = 15 $ বসিয়ে পাই, $x-5\times15 = 5$ বা, $x = 5+75 = 80$।
সুতরাং, কমলালেবুর সংখ্যা $= xy = 80 \times 15 = 1200$ এবং বাক্সের সংখ্যা $15$।
অতএব মােট কমলালেবুর সংখ্যা $xy$।
প্রথম শর্তানুযায়ী, $(x + 20)(y-3) = xy$
বা, $xy-3x+ 20y - 60 = xy$
বা, $– 3x + 20y = 60\qquad\cdots(1)$
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, $(x – 5)(y + 1) = xy$
বা, $xy+x-5y-5 = xy $
বা, $x-5y = 3\qquad\cdots(2)$
(1) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুণ করে পাই, $-3x+ 20y = 60 \qquad\cdots(3)$
(2) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই, $3x-15y = 15 \qquad\cdots(4)$
(3) নং ও (4)নং সমীকরণ যােগ করে সমাধান করে পাই, $y = 15 $
এখন (2)নং সমীকরণে $y = 15 $ বসিয়ে পাই, $x-5\times15 = 5$ বা, $x = 5+75 = 80$।
সুতরাং, কমলালেবুর সংখ্যা $= xy = 80 \times 15 = 1200$ এবং বাক্সের সংখ্যা $15$।
21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন: (i) থেকে (vii) পর্যন্ত বাড়ির কাজ
22. (i) থেকে (vi) পর্যন্ত বাড়ির কাজ
Hi, I am a school teacher.
ConversionConversion EmoticonEmoticon